题目

已知 ， ，且 . （1） 若对于任意的正数a，b，不等式 恒成立，求实数x的取值范围； （2） 证明： . 答案： 解：因为 a2+b2=1 ，所以 1a2+1b2=(1a2+1b2)(a2+b2)=2+b2a2+a2b2≥4 即 1a2+1b2≥4 ，当且仅当 a=b=22 时取等号，因此 1a2+1b2 的最小值是4. 于是 |2x−1|≤4⇔−4≤2x−1≤4⇔−32≤x≤52 . 故实数x的取值范围是 [−32,52] . 证明： (1a+1b)(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b=(a2+b2)2+b5a+a5b−2a2b2 ≥(a2+b2)2+2b5a⋅a5b−2a2b2=(a2+b2)2=1 ， 故 (1a+1b)(a5+b5)≥1 . 或直接运用二维柯西不等式： (1a+1b)(a5+b5)≥(1a⋅a5+1b⋅b5)2=(a2+b2)2=1 ， 当且仅当 a=b=22 时取等号. 故 (1a+1b)(a5+b5)≥1 .

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