题目

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG，DC的延长线相交于点F. （1） 若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径； （2） 求证：∠FGC＝∠AGD； （3） 若直径AB＝10，tan∠BAC＝ ，弧AG＝弧BG，求DG的长. 答案： 解：连接OC.如图1所示： 设⊙O的半径为R. ∵CD⊥AB， ∴DE＝EC＝4， 在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2， ∴R2＝(R﹣2)2+42， 解得：R＝5， 即⊙O的半径为5 证明：连接AD，如图2所示： ∵弦CD⊥AB ∴弧AD=弧AC， ∴∠ADC＝∠AGD， ∵四边形ADCG是圆内接四边形， ∴∠ADC＝∠FGC， ∴∠FGC＝∠AGD 解：如图3中，连接OG，作GH⊥DF于H. ∵AB＝10，tan∠BAC＝ BCAC=12 ， ∴BC＝2 5 ，AC＝4 5 ， ∵AB⊥CD， ∴DE＝CE＝ AC⋅BCAB ＝4， ∴BE＝ BC2−CE2= 2，OE＝3， ∵弧AG=弧BG， ∴OG⊥AB， ∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°， ∴四边形OEHG是矩形， GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9， 在Rt△DGH中，DG＝ DH2+GH2=92+32=310 .

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