题目

已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ）．当x＞0时，f（x）＞0 （1） 判断函数f（x）在R上的单调性并证明； （2） 设函数g（x）与函数f（x）的奇偶性相同，当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），若对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围． 答案： 解：由题意：函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ x+y2 ）+f（ x−y2 ），令x=y=0，可得f（0）=0．设x1＞x2，令x=x1，y=x2， 则 f(x1)=f(x1+x22)+f(x1−x22) ，可得：则 f(x1)−f(x1+x22)>f(x1−x22) ，即 f(x1)−f(x1+x22) ＞0．∴函数f（x）在R上是单调增函数． 解：令x=0，y=2x， 可得：f（0）=0=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数，故得g（x）也是奇函数．当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），即g（x）= {x−2m，(x≥m)−x，(0≤x<m) 当x＜0时，g（x）的最大值为m．对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，只需要：1≥3m﹣（﹣2m），解得： m≤15 ．∵m＞0故得实数m的取值范围是（0， 15 ]．

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