题目

已知 ，直线 ： ，若动点 到点 的距离比它到直线 的距离小 ， （1） 求动点 的轨迹方程 ； （2） 直线 过点 且与曲线 相交不同的两点 、 ，若 ，求直线 的直线方程. 答案： 解： ∵ 点 M 到点 F(0,1) 的距离比它到直线 l ： y=−2 的距离小 1 ， ∴ 点 M 在直线 l 的上方， ∴ 点 M 到 F(0,1) 的距离与它到直线 l′ ： y=−1 的距离相等， ∴ 点 M 的轨迹 E 是以 F 为焦点，以直线 l′ 为准线的抛物线，所以 E 的方程为 x2=4y 解：由题意，设 l1 ： y=kx+1 ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 由 {y=4k+1x2=4y 得 x2−4kx−4=0 ， 则 x1+x2=4k ， y1+y2=kx1+1+kx2+1=4k2+2 ， 又 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=4k2+4=12 ， 解得 k=±2 ，经检验满足题意. 即所求 l1 的直线方程： y=±2x+1 .

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