题目

如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线y=ax2+bx+c，该抛物线与y轴交于点B，与x轴正半轴交于点C．（1）求点B和点C的坐标；（2）如图1，有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动的时间为t秒，直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于点P，当点P在x轴上方时，求出使△PBC的面积为2的t值；（3）如图2，将直线BC绕点B逆时针旋转，与x轴交于点M（1，0），与抛物线y=ax2+bx+c交于点A，在y轴上有一点D（0，），在x轴上另取两点E，F（点E在点F的左侧），EF=2，线段EF在x轴上平移，当四边形ADEF的周长最小时，先简单描述如何确定此时点E的位置？再直接写出点E的坐标． 答案：解：（1）将抛物线y=33x2先向右平移1个单位，再向下平移433个单位，得到新的抛物线的解析式为y=33（x﹣1）2﹣433．当x=0时，y=33﹣433=﹣3，则点B的坐标为（0，﹣3）；令y=0，得33（x﹣1）2﹣433=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∵点C在x轴正半轴上，∴点C的坐标为（3，0）；（2）过点P作PH⊥y轴于点H，如图1，由题可得PH=1×t=t．∵点B（0，﹣3），点C（3，0），∴OB=3，OC=3，∴S△BCP=S梯形PHOC+S△BOC﹣S△PHB=12（PH+OC）•OH+12OB•OC﹣12BH•PH=12（t+3）•OH+12×3×3﹣12（OH+3）•t=32OH+332﹣32t=23，解得：OH=33t+33，∴点P的坐标为（t，33t+33）．∵点P在抛物线y=33（x﹣1）2﹣433上，∴33（t﹣1）2﹣433=33t+33，解得：t1=4，t2=﹣1∵点P在第一象限，∴t=4；（3）将点A向左平移2个单位到点A′，作点D关于x轴的对称点D′，连接A′D′，交x轴于点E′，当点E运动到点E′时，四边形ADEF的周长最小，此时点E的坐标为（37，0）．解题思路如下：先用待定系数法求出BM的解析式，为y=3x﹣3，然后将直线BM与抛物线的解析式组成方程组，求出它们的一个交点A的坐标，为（5，43），从而可得点A向左平移2个单位所对应的点A′的坐标，为（3，43），由点D（0，233）可得到该点关于x轴的对称点D′的坐标，为（0，﹣233），然后运用待定系数法求出直线A′D′的解析式，为y=1439x﹣233，然后令y=0，就可得到直线A′D′与x轴的交点E′的坐标，为（37，0）．

查看本题答案和解析