题目

某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了 个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下: 注:尺寸数据在 内的零件为合格品,频率作为概率. (Ⅰ) 从产品中随机抽取 件,合格品的个数为 ,求 的分布列与期望； (Ⅱ) 从产品中随机抽取 件,全是合格品的概率不小于 ,求 的最大值； (Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出 两种不同的改进方案进行试验.若按 方案进行试验后,随机抽取 件产品,不合格个数的期望是 ；若按 方案试验后,抽取 件产品,不合格个数的期望是 ,你会选择哪个改进方案? 答案：解：(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为 (0.75+0.65+0.2)×0.5=0.8 , 即抽出产品为合格品的概率为 45 , 从产品中随机抽取 4 件,合格品的个数 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, 且 P(ξ=0)=(15)4=1625 , P(ξ=1)=C41⋅45⋅(15)3=16625 , P(ξ=2)=C42⋅(45)2⋅(15)2=96625 , P(ξ=3)=C43⋅(45)3⋅15=256625 , P(ξ=4)=(45)4=256625 , 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 1625 16625 96625 256625 256625 故数学期望 E（ξ）=   4×45 =165   (Ⅱ) 随机抽取 n 件,全是合格品的概率为 (45)n ,依题意 (45)n≥0.3 ,故 n 的最大值为 5 . (Ⅲ) 按 A 方案随机抽取产品不合格的概率是 a ,随机抽取 15 件产品,不合格个数 X~B(15,a) ； 按 B 方案随机抽取产品不合格的概率是 b ,随机抽取 25 件产品,不合格个数 Y~B(25,b) , 依题意 EX=15a=2 , EY=25b=4 ,解得 a=225,b=425 , 因为 225<425 ,所以应选择方案 A .

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