题目

已知函数f(x)＝ex＋e－x ， g(x)＝2x＋ax3 ， a为实常数． (I)求g(x)的单调区间； (II)当a＝－1时，证明：存在x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行. 答案：解：(I)g′(x)＝3ax2+2， 当a≥0时，g′(x)＞0故g(x)的单调增区间为（﹣∞，+∞）. 当a＜0时，令g′(x)≥0得 −−23a≤ x ≤−23a ，g(x)的单调增区间为[ −−23a≤ x ≤−23a ]， g（x）的单调减区间为：（﹣∞， −−23a ），（ −23a ，+∞） (II)当a＝﹣1时，f′(x)＝ex﹣e﹣x，g′(x)＝2﹣3x2， x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行． 即x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0），且f（x0）≠g（x0）， 令h(x)＝f′(x)﹣g′(x)＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2， h（0）＝﹣2＜0，h（1）＝e −1e− 2+3＞0， ∴x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0）. ∵当x∈（0， 63 ）时,g′(x)＞0，当x∈（ 63 ，1）时g′(x)＜0， ∴所以g(x)在区间（0，1）的最大值为g（ 63 ），g（ 63 ） =469< 2. 而f(x)＝ex+e﹣x≥2 exe−x= 2， ∴x∈（0，1）时f(x)＞g(x)恒成立，∴f（x0）≠g（x0）． 从而当a＝﹣1时，：∃x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．

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