题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ： 经过点 和 . （1） 求抛物线 的对称轴. （2） 当 时，将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 . ①求抛物线 的解析式. ②设抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ，连接 .点 为第一象限内抛物线 上一动点，过点 作 于点 .设点 的横坐标为 .是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：因为抛物线图象过（1，1）、（4，1）两点， 这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5， 解：①将点（1，1）、（4，1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1，0），（2，0），将点（-1，0），（2，0），a=-1， 根据交点式可求出C1二次函数表达式为 y=-(x+1)(x-2) ； ②根据①中的函数关系式，可得A（2，0），B（-1，0），C（0，2），D（m， -m2+m+2 ），且m＞0 由图象可知∠BOC=∠DEO=90°， 则以点 O ， D ， E 为顶点的三角形与 △BOC 相似有两种情况， （i）当△ODE∽△BCO时， 则 OEOB=DEOC ，即 m1=-m2+m+22 ， 解得m=1或-2（舍）， （ii）当△ODE∽△CBO时， 则 OEOC=DEOB ，即 m2=-m2+m+21 ， 解得 m=1+334或1-334（舍） 所以满足条件的m的值为1或 1+334

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