题目

已知：二次函数 ， （1） 二次函数顶点坐标为 ，求二次函数的解析式： （2） 若 ， ①求证： 必有两个不相等的实数根 ， ②求 的取值范围 答案： 解：由顶点坐标可得二次函数为： y=a(x−2)2−1=ax2−4ax+4a−1 ∴{b=−4ac=4a−1 ，又 a+b+c=0     ∴a−4a+4a−1=0 ，解得： {a=1b=−4c=3 ∴ 二次函数解析式为： y=x2−4x+3 解：①假设 a≤0 ，由 a+b+c=0 知： b+c=−a≥0 ∵a>b>c     ∴c<b<0      ∴b+c<0 与 b+c≥0 矛盾    ∴a>0 则 Δ=b2−4ac=b2−4a(−a−b)=b2+4a2+4ab=(2a+b)2 若 2a+b=0 ，则 b=−2a ， c=−a+2a=a ，不满足 a>c ∴2a+b≠0 ，即 Δ=(2a+b)2>0 ∴ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根 x1,x2 ②由①知： x1+x2=−ba ， x1x2=ca 且 a>0 ∴|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=b2a2−4ca=b2−4aca2=|2a+ba|=|2+ba| ∵a+b+c=0 且 b>c     ∴a+2b>0 ，即 a>−2b ，又 a>0     ∴ba>−12 又 a>b 且 a>0 ∴ba<1 ∴−12<ba<1     ∴32<2+ba<3 ∴|2+ba|∈(32,3) ，即 |x1−x2| 的取值范围为 (32,3)

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