题目

已知函数f（x）=lnx﹣ax在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行．记函数g（x）=f（x）+ ﹣bx． （1） 求实数a的值； （2） 令h（x）=g（x）+2x，若h（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3） 设x1 ， x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ ，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值． 答案： 解：f′（x）= 1x ﹣a， ∵函数在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行，∴k= 12 ﹣a=﹣ 12 ，解得a=1 解：∵g（x）=lnx+ 12 x2﹣（b﹣1）x， ∴g′（x）= x2−(b−1)x+1x ，由题意得：g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，∵x＞0，设u（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，则u（0）=1＞0，只需 {b−12>0△=(b−1)2−4>0 ，解得：b＞3 解：∵g（x）=lnx+ 12 x2﹣（b+1）x， ∴g′（x）= 1x +x﹣（b+1）= x2−(b−1)x+1x ，由g′（x）=0得x2﹣（b+1）x+1=0∴x1+x2=b+1，x1x2=1，∴x2= 1x1 ，∵b≥ 32 ，∴ {x1+1x1≥520<x1<1x1 ，解得：0＜x1≤ 12 ，∴g（x1）﹣g（x2）=ln x1x2 + 12 （x12﹣x22）﹣（b+1）（x1﹣x2）=2lnx1﹣ 12 （x12﹣ 1x12 ），设F（x）=2lnx﹣ 12 （x2﹣ 1x2 ）（0＜x≤ 12 ），则F′（x）= 2x ﹣x﹣ 1x3 = −(x2−1)2x3 ＜0∴F（x）在（0， 12 ]上单调递减； ∴当x1= 12 时，F（x）min=F（ 12 ）= 158 ﹣2ln2，∴k≤ 158 ﹣2ln2，∴k的最大值为 158 ﹣2ln2

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