题目

已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：当 a=0 时， f(x)=xex ，∴ f′(x)=(x+1)ex ，∴切线的斜率 k=f′(1)=2e ，又 f(1)=e ，∴ y=f(x) 在点 (1,e) 处的切线方程为 y−e=2e(x−1) ，即 2ex−y−e=0 解：∵ x∈(−2,0) ，∴ 12x2+x<0 ，∵ ∀x∈(−2,0) ， f(x)=xex−a(12x2+x)≤0 恒成立，∴ a≤2exx+2 在 (−2,0) 上恒成立，令 g(x)=2exx+2(−2<x<0) ，则 g′(x)=2ex(x+2)−2ex(x+2)2=2ex(x+1)(x+2)2 ，当 −2<x<−1 时， g′(x)<0 ；当 −1<x<0 时， g′(x)>0 ，∴ g(x) 在 (−2,−1) 上单调递减，在 (−1,0) 上单调递增，∴ g(x)min=g(−1)=2e ，∴ a≤2e ，即实数 a 取值范围为 (−∞,2e]

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