题目

已知函数（ ， e为自然对数的底数）． （1） 若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2） 讨论函数的单调性； （3） 当时，求证： ． 答案： 解：f′(x)=(x+1)(aex−2)，则f′(0)=a−2，由已知(a−2)a=−1，解得a=1 解：f′(x)=(x+1)(aex−2)（ⅰ）当a≤0时，aex−2<0，所以f′(x)>0⇒x<−1，f′(x)<0⇒x>−1，则f(x)在(−∞，−1)上单调递增，在(−1，+∞)上单调递减；（ⅱ）当a>0时，令aex−2=0，得x=ln2a，①0<a<2e时，ln2a>−1，所以f′(x)>0⇒x<−1或x>ln2a，f′(x)<0⇒−1<x<ln2a，则f(x)在(−∞，−1)上单调递增，在(−1，ln2a)上单调递减，在(ln2a，+∞)上单调递增；②a=2e时，f′(x)=2(x+1)(ex+1−1)≥0，则f(x)在(−∞，+∞)上单调递增；③a>2e时，ln2a<−1，所以f′(x)>0⇒x<ln2a或x>−1，f′(x)<0⇒ln2a<x<−1，则f(x)在(−∞，ln2a)上单调递增，在(ln2a，−1)上单调递减，在(−1，+∞)上单调递增．综上，a≤0时，f(x)在(−∞，−1)上单调递增，在(−1，+∞)上单调递减；0<a<2e时，f(x)在(−∞，−1)上单调递增，在(−1，ln2a)上单调递减，在(ln2a，+∞)上单调递增；a=2e时，f(x)在(−∞，+∞)上单调递增；a>2e时，f(x)在(−∞，ln2a)上单调递增，在(ln2a，−1)上单调递减，在(−1，+∞)上单调递增． 证明：方法一：f(x)≥lnx−x2−x−2(x>0)等价于axex−lnx−x+1≥0(x>0)当a≥1e2时，axex−lnx−x+1≥xex−2−lnx−x+1(x>0)令g(x)=xex−2−lnx−x+1，g′(x)=(x+1)(ex−2−1x)令h(x)=ex−2−1x，则h(x)在区间(0，+∞)上单调递增   ∵h(1)=1e−1<0，h(2)=12>0，∴存在x0∈(1，2)，使得h(x0)=0，即ex0−2=1x0，x0−2=−lnx0当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，则g(x)在(0，x0)上单调递减，当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(x0，+∞)上单调递增∴g(x)min=g(x0)=x0ex0−2−lnx0−x0+1=x0⋅1x0+x0−2−x0+1=0∴g(x)≥0，故f(x)≥lnx−x2−x−2方法二：当a≥1e2时，axex−lnx−x+1≥xex−2−lnx−x+1(x>0)g(x)=xex−2−lnx−x+1=elnx+x−2−(lnx+x−2)−1令t=lnx+x−2，则t∈R，令k(t)=et−t−1，则k′(t)=et−1当t<0时，k′(t)<0；当t>0时，k′(t)>0∴k(t)在区间(−∞，0)上单调递减，(0，+∞)上单调递增．∴k(t)≥k(0)=0，即g(x)≥0∴f(x)≥lnx−x2−x−2，

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