题目

如图1，四边形ABCD是正方形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止；动点Q从A出发，以1cm/s的速度沿边AD匀速运动到D终止，若P、Q两点同时出发，运动时间为ts，△APQ的面积为Scm2 ． S与t之间函数关系的图象如图2所示． （1） 求图2中线段FG所表示的函数关系式； （2） 当动点P在边AB运动的过程中，若以C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； （3） 是否存在这样的t，使PQ将正方形ABCD的面积恰好分成1：3的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为2s，则正方形的边长AB=2×2=4cm．点Q运动至点D所需时间为：4÷1=4s，点P运动至终点D所需时间为12÷2=6s．因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为4≤t≤6．故S= 12 ×4×（12﹣2t）=﹣4t+24，∴FG段的函数表达式为S=﹣4t+24（4≤t≤6）． 解：①若CP=CQ，则DQ=PB，显然不成立②若PC=PQ，则（4﹣2t）2+42=5t2，解得 t1=−8+46 ， t2=−8−46 （舍去）③若QC=QP，则（4﹣t）2+42=5t2，解得t1=2，t2=﹣4（舍去）综上所述，当 t=−8+46 或t=2时，以C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形． 解：假设存在这样的t，使PQ将正方形ABCD的面积恰好分成1：3的两部分．易得正方形ABCD的面积为16．①当点P在AB上运动时，PQ将正方形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如图3所示，根据题意，得 12×2t×t=16×14 ，解得t=2；                  ②当点P在BC上运动时，PQ将正方形ABCD分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如图4所示．根据题意，得 12 （2t﹣4+t）×4= 34 ×16，解得t= 103 ．∴存在t=2和t= 103 ，使PQ将正方形ABCD的面积恰好分成1：3的两部分．

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