题目

已知幂函数 为偶函数，且在区间 内是单调递增函数． （1） 求 的值和函数 的解析式； （2） 判断 在 上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 答案： 解：∵幂函数 f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z) 为偶函数，且在区间 (0,+∞) 上是单调增函数． ∴ −m2+2m+3>0 ，且 −m2+2m+3 为偶数， 解得 m=1 ， ∴ f(x)=x4 ． 解： f(x) 在 (−∞,0) 上是减函数. 证明： 设 ∀x1,x2∈(−∞,0) 且 x1<x2 ， f(x2)−f(x1)=x24−x14=(x22+x12)(x2+x1)(x2−x1) ， ∵x1+x2<0,x2−x1>0 ， ∴ f(x2)−f(x1)<0 ， 即 f(x2)<f(x1) ， 所以 f(x)=x4 在 (−∞,0) 上是减函数.

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