题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由. 答案：（Ⅰ）证明：因为ABCD为菱形，所以 BD⊥AC ，又因为 PA⊥平面ABCD ，所以 BD⊥PA ，而 PA∩AC=A ，故 BD⊥平面PAC ；（Ⅱ）因为 ∠ABC=60° ,所以 ∠ADC=60° ，故 △ADC 为等边三角形，而E为CD 的中点，故 AE⊥CD ,所以 AE⊥AB ,又因为 PA⊥平面ABCD ，所以 AB⊥PA ,因为 PA∩AE=A ，所以 AB⊥平面PAE ,又因为 AB⊂平面PAB ，所以 平面PAB⊥平面PAE ；（Ⅲ）存在这样的F，当F为PB的中点时， CF∥平面PAE ；取AB的中点G，连接CF、CG和FG，因为G为AB中点，所以AE与GC平行且相等，故四边形AGCE为平行四边形，所以 AE∥GC ,故 GC∥平面PAE在三角形BAP中，F、G分别为BP、BA的中点，所以 FG∥PA ,故 FG∥平面PAE ,因为GC和FG均在平面CFG内，且 GC∩FG=G ,所以 平面CGF∥平面PAE ，故 CF∥平面PAE .

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