题目

如图，在坐标系中，第一象限内存在沿方向的匀强电场；第二象限内在以为圆心、R为半径的圆形区域内，存在方向垂直平面向外的匀强磁场；第四象限内（含坐标轴上）存在垂直平面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B；带电粒子甲以某一初速度从A点沿方向射入磁场后从原点O射出，带电粒子乙以相同的初速度从磁场边界上的C点射入磁场，也从原点O射出，并沿与轴正方向成方向射入第四象限，经过磁场，进入电场中运动时离的最大距离为 ， 已知甲、乙的质量均为m，电荷量均为 ， 不计重力及粒子间相互作用。 （1） 求甲的初速度大小； （2） 若垂直轴放置一足够大的接收屏，使乙在电场中恰好垂直击中接收屏，求乙从C点运动到接收屏的最短时间t； （3） 若垂直轴放置一足够大的接收屏，使乙在磁场中恰好垂直击中接收屏，求甲从O点运动到接收屏的总路程S。 答案： 解：设甲在磁场中运动轨迹的半径为r，则qv0B=mv02r由几何关系可知r=R联立解得v0=qBRm 解：乙沿与+x轴成30°方向射入第四象限，可知，圆心角α=30°，β=60°又T=2πrv0乙在第二象限运动时间t1=αT2π乙第一次在第四象限运动时间t2=βT2π乙第一次进入电场开始运动到接收屏的所用的时间设为t3，则36R=v0sin30°2t3乙从C点运动到接收屏的最短时间t=t1+t2+t3联立解得t=(3π+43)m6qB 解：在（2）问中第一次进入电场开始运动到接收屏的水平位移大小设为x，则x=v0cos30°⋅t3联立解得x=R设甲、乙在电场中运动的加速度大小为a，甲在电场中向上运动最大距离为y，则有，对甲有v02=2ay对乙有(vsin30°)2=2a36R联立解得y=233R乙在磁场中做圆周运动时的圆心角β=60°，使乙在磁场中恰好垂直击中接收屏，由几何关系可知屏的位置需满足xn=Rsin30°+(n−1)⋅(2x+2Rsin30°)代入x解得xn=12R+(n−1)⋅3R(n=1，2，3⋅⋅⋅⋅⋅⋅)当屏的位置处在n=1，3，5⋅⋅⋅⋅⋅⋅等奇数xn的位置时，甲运动到屏的路程满足Sk1=16⋅2πR+(k−1)⋅(3πR+3×2y)代入y解得Sk1=13πR+(k−1)⋅(3π+43)R(k=1，2，3⋅⋅⋅⋅⋅⋅)当屏的位置处在n=2，4，6⋅⋅⋅⋅⋅⋅等偶数xn的位置时，甲运动到屏的路程满足Sk2=(πR+2y+13⋅2πR)+(k−1)⋅(3πR+3×2y)代入y解得Sk2=(53πR+433R)+(k−1)⋅(3π+43)R

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