题目

已知抛物线 ， 直线交于、两点，且当时，. （1） 求的值； （2） 如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、 ， 和交于 ， .证明：存在实数 ， 使得. 答案： 解：将y=x+1代入x2=2py得x2−2px−2p=0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则Δ=4p2+8p>0，由韦达定理可得{x1+x2=2px1x2=−2p，则|AB|=2|x1−x2|=2(x+x)2−4x1x2=2⋅4p2+8p=8，解得p=2或p=−4（舍），故p=2. 解：将y=kx+1代入x2=4y中得x2−4kx−4=0，设A(a，a24)、B(b，b24)，则Δ=16k2+16>0，由韦达定理可得{a+b=4kab=−4，对y=14x2求导得y=12x，则抛物线T在点A处的切线方程为y−a24=a2(x−a)，即y=a2x−a24，①同理抛物线T在点B处的切线方程为y=b2x−b24，②联立①②得{x=a+b2y=ab4，所以{x=2ky=−1，所以G点的坐标为(2k，−1)，当k=0时，即切线AC与BD交于y轴上一点(0，−1)，此时C、D、G重合，由GC→+GD→+GE→=0，则GE→=0→，又AB→≠0→，则存在λ=0使得GE→=λAB→成立；当k≠0时，切线AC与y轴交于点C(0，−a24)，切线BD与y轴交于点D(0，−b24)，由(−a24)+(−b24)2=2ab−(a+b)28=−2k2−1，得CD的中点M(0，−2k2−1)，由GC→+GD→+GE→=0得GE→=−(GC→+GD→)=−2GM→，即GE→//GM→，又kGM=−1−(−2k2−1)2k−0=k，所以GM//AB，所以，GM→//AB→，又AB→≠0→，所以存在实数λ使得GE→=λAB→成立.综上，命题成立.

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