题目

已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若 = ，如图1，． （1） 判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2） 设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．  答案： 解：△ABC为等腰三角形，∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠CFO=∠CEO=∠BDO=∠BEO=90°，∵四边形内角和为360°，∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，∵ EF^ = DE^ ，∴∠EOF=∠DOE，∴∠B=∠C，AB=AC，∴△ABC为等腰三角形； 解：连接OB、OC、OD、OF，如图，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE=CE，∵在Rt△AOF和Rt△AOD中， {OD=OFOA=OA ，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF=AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，∴AD=AF，BD=CF，∴DF∥BC，∴ AMAE = AFAC =23，∵AE= AC2−CE2 =4 2 ，∴AM=4 2 × 23 = 823 ．

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