题目

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），直线l：y=﹣1．动点P满足条件：①P在这个平面直角坐标系中；②P到A的距离和P到l的距离相等； （1） 求点P所经过的轨迹方程，并在网格中绘制这个图象．（提示：平面直角坐标系中两点之间的距离可以通过勾股定理来求得） （2） 已知直线y=kx+1，小明同学说，这条直线与（1）中所绘的图象有两个交点？你能说明小明为什么这么说吗？ （3） 经过了上述的计算、绘图，小明发现，如果第（2）问的两个交点分别为B、C，那么，过BC的中点M作直线l的垂线，垂足为H，连接BH、CH，所得到的三角形BCH是个特殊的三角形，你能说明它是什么三角形吗？为什么？ 答案： 解：设P的坐标为P（x，y），由题意得： x2+(y−1)2 =|y+1|，两边平方得：x2+（y﹣1）2=（y+1）2，∴y= 14 x2，即P的轨迹为一抛物线，其图象如图1所示； 解：抛物线直线方程联立得 {y=14x2y=kx+1 ，消去y可得x2﹣4kx﹣4=0，∴△=16k2+16＞0，∴直线y=kx+1与抛物线有两个交点； 解：如图2，过B作BB′⊥l于B′，过C作CC′⊥l于C′，由（1）中的条件可得BB′=BA，CC′=CA，∴BC=BA+AC=BB′+CC′，又由题意可得MH是梯形BB′C′C的中位线，∴MH= 12 （BB′+CC′）= 12 BC，∴MB=MC=MH，∴△BHC是以∠BHC为直角的直角三角形．

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