题目

2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 正上方 米处的 点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动. （1） 当运动员运动到离 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线 的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2） 在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ （3） 当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求 的取值范围. 答案： 解：根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线 C2：y=−18x2+bx+c 得， {c=4−18×42+4b+c=8 ， 解得： {c=4b=32 ， ∴抛物线 C2 的函数解析式 y=−18x2+32x+4 解：∵运动员与小山坡的竖直距离为 1 米， ∴ (−18x2+32x+4)−(−112x2+76x+1)=1 ， 解得： x1=−4 （不合题意，舍去）， x2=12 ， 故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为 1 米； 解：∵点A（0，4）， ∴抛物线 C2：y=−18x2+bx+4 ， ∵抛物线 C1：y=−112x2+76x+1=−112(x−7)2+6112 ， ∴坡顶坐标为 (7，6112) ， ∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 3 米时， ∴ y=−18×72+7b+4≥6112+3 ， 解得： b≥3524

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