题目

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上． （1） b =，c =，点B的坐标为；（直接填写结果） （2） 是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3） 过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 答案： 【1】﹣2【2】﹣3【3】（﹣1，0） 解：存在．理由：如图所示：①当∠ACP1=90°．由（1）可知点A的坐标为（3，0）．设AC的解析式为y=kx﹣3．∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1，∴直线AC的解析式为y=x﹣3，∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3．∵将y=﹣x﹣3与 y=x2−2x−3 联立解得 x1=1 ， x2=0 （舍去），∴点P1的坐标为（1yin，﹣4）．②当∠P2AC=90°时．设AP2的解析式为y=﹣x+b．∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3，∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3．∵将y=﹣x+3与 y=x2−2x−3 联立解得 x1 =﹣2， x2 =3（舍去），∴点P2的坐标为（﹣2，5）．综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）． 解：如图2所示：连接OD．由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF= 12 OC= 32 ，∴点P的纵坐标是 −32 ，∴ x2−2x−3=−32 ，解得：x= 2±102 ，∴当EF最短时，点P的坐标是：（ 2+102 ， −32 ）或（ 2−102 ， −32 ）．

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