题目

已知函数 ． （1） 若 ，求 的最小值； （2） 若 在 上单调递增，求 的取值范围； （3） 若 ， 求证： ． 答案： 解：函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f'(x) =lnx+2x+2ax ，  若 a=0 ，记 g(x)=f'(x) ，则 g(x)=lnx+2x(x>0) g'(x)=1x−2x2=x−2x2 (x>0)    ∴0<x<2,g'(x)<0;x>2,g'(x)>0 ∴g(x) 的单调减区间为 (0,2) ，单调增区间为 (2,+∞) .   ∴g(x)min=g(2)=ln2+1 ∴f'(x) 的最小值为 ln2+1 解： f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,当且仅当 f'(x)≥0 在区间 (0,+∞) 恒成立，即 f'(x)=lnx+2x+2ax≥0 在区间 (0,+∞) 恒成立，∵f'(1)=2+2a≥0∴a≥−1 (I) 若 a≥0 ，由（1）知∵x>0,a≥0∴f'(x)=lnx+2x+2ax≥lnx+2x=g(x)≥ln2+1>0∴f(x) 在定义域上单调递增，满足条件 (II)若 −1≤a<0 ，f'(e−1a)=−1a+2e−1a+2ae−1a令 t=−1a≥1 ， m(t)=t+2et−2ett<2t−2ett=2(t2−et)t(t≥1)t≥1 ⇒ (2t−et)'=2−et≤2−e<0 ⇒ 2t−et在[1,+∞)递减∴t≥1⇒(t2−et)'=2t−et≤2−e<0⇒t2−et在[1,+∞)递减∴t≥1⇒t2−et≤1−e<0⇒m(t)<0所以取 t=−1a≥1, 有 f'(e−1a)=−1a+2e−1a−2e−1a−1a=m(t)<0 ，不合题意综上所述，若 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，则 a 的取值范围是 [0,+∞)法二： f'(x)=lnx+2x+2ax≥0(x>0)⇔−2a≤lnxx+2x2(x>0)记 h(x)=lnxx+2x2(x>0) ，则h'(x)=1−lnxx2−4x3=x−xlnx−4x3(x>0)记 t(x)=x−xlnx−4(x>0) ,则 t'(x)=1−(lnx+1)=−lnx(x>0)∴0<x<1,t′(x)>0,x>1,t'(x)<0∴t(x)max=t(1)=−3<0∴t(x)<0,h'(x)<0∴h(x) 在 (0,+∞) 上单调递减∵limx→+∞h(x)=limx→+∞(lnxx+2x2)=limx→+∞lnxx+0=limx→+∞(lnx)'x'=limx→+∞1x=0(根据洛比塔法则) ∴−2a≤0∴a≥0 . 解：若 a=−1 ， f(x)=(x+2)lnx−x2−x ， f'(x)=lnx+2x−2x   (x>0),   f'(1)=0 g(x)=f'(x),  g'(x)=1x−2x2−2=−2x2+x−2x2 (x>0),  ∴ g'(x)<0 ∴f'(x) 在 (0,+∞) 上单减，  当 0<x<1 时， f'(x)>f(1)=0,f(x) 在（0，1）上单增； 当   x>1 时， f'(x)<f(1)=0,f(x) 在（1，+ ∞ ）上单减； ∵f(x1)=f(x2), x1<x2∴0<x1<1<x2   令 d(x)=f(x)−f(2−x) (0<x≤1) ，则 d'(x)=f'(x)+f'(2−x)=lnx+2x−2x +ln(2−x)+2(2−x)−2(2−x) =ln[x(2−x)]+4x(2−x)−4=lnt+4t−4=l(t),  其中令 t=x(2−x)∈(0,1] 当 0<t<1 时， l'(t)=1t−4t2=t−4t2<0,∴l(t) 在 (0,1) 单减， l(t)>l(1)=0 ∴d'(x)>0∴d(x) 在（0，1）上单增， ∵0<x1<1∴d(x1)<d(1)=0∴f(x1)<f(2−x1) ∴f(x2)=f(x1)<f(2−x1)  又 ∵2−x1>1,x2>1,f(x) 在 (1,+∞) 上单调递减 ∴x2>2−x1∴x1+x2>2. 

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