题目

2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的 病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为 ，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1） 求一个接种周期内出现抗体次数 的分布列； （2） 已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案： ①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 元； ②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 答案： 解：由题意可知，随机变量 K 服从二项分布 K∼B(3,12) ， 故 P(K=k)=C3k⋅(12)k⋅(12)3−k （ k=0,1,2,3 ） 则 X 的分布列为 K 0 1 2 3 P 18 38 38 18 解：①设一个接种周期的接种费用为 ξ 元，则 ξ 可能的取值为200，300， 因为 P(ξ=200)=14 ， P(ξ=300)=34 ， 所以 E(ξ)=200×14+300×34=275 . 所以三个接种周期的平均花费为 E(X)=3E(ξ)=3×275=825 . ②随机变量 Y 可能的取值为300，600，900， 设事件 A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知， P(A)=38+18=12 . 所以 P(Y=300)=P(A)=12 ， P(Y=600)=[1−P(A)]×P(A)=14 ， P(Y=900)=[1−P(A)]×[1−P(A)]×1=14 ， 所以 E(Y)=300×12+600×14+900×14=525 因为 E(X)>E(Y) . 所以选择方案二.

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