题目

已知函数 的定义域为 ，且存在实常数 ，使得对于定义域内任意 ，都有 成立，则称此函数 具有“性质 ” （1） 判断函数 是否具有“ 性质”，若具有“ 性质”，则求出 的值；若不具有“ 性质”，请说明理由； （2） 已知函数 具有“ 性质”且函数 在 上的最小值为 ；当 时， ，求函数 在区间 上的值域； （3） 已知函数 既具有“ 性质”，又具有“ 性质”，且当 时， ，若函数 ，在 恰好存在 个零点，求 的取值范围. 答案： 解：假设 y=x2−4x+7 具有“ P(a) 性质”， 则 (x+a)2−4(x+a)+7=(−x)2−4(−x)+7 恒成立， 等式两边平方整理得， 2(a−2)x+a2−4a=4x ，因为等式恒成立， 所以 {2(a−2)=4a2−4a=0 ，解得 a=4 解： ∵ 函数 y=f(x) 具有“ P(2) 性质”则 f(x+2)=f(−x) ∴f(x)=f(2−x) 又 ∵ 当 x≤1 时， f(x)=m−x ，在 x∈(−∞,1] 单调递减 ∴ 当 x≥1 时， 2−x≤1 得： f(2−x)=m−(2−x)=x+m−2 ， 又 f(x)=f(2−x) 得 当 x≥1 时， f(x)=x+m−2 ，在 x∈[1,+∞) 单调递增 ∴ 函数 f(x) 的最小值 f(x)min=f(1)=m−1=2 ，得： m=3 ∴ 当 x∈[0,1] 时， f(x)=3−x ，单调递减 此时 f(x) 的值域为： [2,3] 解： ∵y=g(x) 既具有“ P(0) 性质”，即 g(x)=g(−x) ，则函数 y=g(x) 为偶函数， 又 y=g(x) 既具有“ P(2) 性质”，即 g(x+2)=g(−2)=g(x) ， 且当 −1≤x≤1 时， g(x)=|x| 作出函数 y=g(x) 的图象如图所示： ∵ 函数 y=g(x)−logbx ，在 x∈(0,3] 恰好存在 2 个零点 ∴g(x) 与 y=logbx 在 x∈(0,3] 恰好有 2 个交点 ∴b>1 且 logb3≤1 ∴b≥3 即 b 的取值范围为： [3,+∞)

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