题目

现定义：设 是非零实常数，若对于任意的 ，都有 ，则称函数 为“关于的 偶型函数” （1） 请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明 （2） 设定义域为的“关于的 偶型函数”在区间 上单调递增，求证在区间 上单调递减 （3） 设定义域为 的“关于 的偶型函数” 是奇函数，若 ，请猜测 的值，并用数学归纳法证明你的结论 答案： 解： y=cos(x−2)，f(2−x)=cos(−x),f(2+x)=cosx⇒f(2−x)=f(2+x) ， ∴ y=cos(x−2) 为“关于2的偶型函数” 解： f(a−x)=f(a+x)⇒f(2a−x)=f(x) . 任取 x1<x2∈(a,+∞), 则 2a−x1>2a−x2∈(−∞,a) ，因为函数在 (-∞,a) 单调递增，所以 f(2a−x1)>f(2a−x2)⇒f(x1)>f(x2) .所以函数在 (a,+∞) 上单调递 解：猜测 f(n)=0, n∈N* 数学归纳法证明： ⒈当 n=1 时 f(12−x)=f(12+x)⇒f(0)=f(1) 因为 y=f(x) 是奇函数，所以 f(1)=0 得证 ⒉假设当 n=k(k∈N*) ， f(k)=0 成立， 因为 f(12−x)=f(12+x)⇒f(1+x)=f(−x) ， 又∵奇函数，∴ f(−x)=−f(x)⇒f(1+x)=−f(x) ， ∴当 n=k+1(k∈N*) 时， f(k+1)=−f(k)=0 ，所以得证

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