题目

阅读材料，解答问题． 材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(﹣3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y＝x2上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5…(如图1所示)．过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3 ， 则S△P1P2P3＝S梯形P1H1H3P3﹣S梯形P1H1H2P2﹣S梯形P2H2H3P3＝ (9+1)×2﹣ (9+4)×1﹣ (4+1)×1，即△P1P2P3的面积为1．” 问题： （1） 求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)； （2） 猜想四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由(利用图2)； （3） 若将抛物线y＝x2改为抛物线y＝x2+bx+c，其它条件不变，猜想四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案)． 答案： 解：作P5H5垂直于x轴，垂足为H5， 由图可知SP1P2P3P4＝S△OP1H1﹣S△OP3H3﹣S梯形P2H2H3P3﹣S梯形P1H1H2P2＝ 9×32−1×12−1+42−4+92 ＝4， SP2P3P4P5＝S梯形P5H5H2P2﹣S△P5H5O﹣S△OH3P3﹣S梯形P2H2H3P3＝ 3(1+4)2−1×12−1×12−1+42 =4 解：作Pn﹣1Hn﹣1、PnHn、Pn+1Hn+1、Pn+2Hn+2垂直于x轴，垂足为Hn﹣1、Hn、Hn+1、Hn+2， 由图可知Pn﹣1、Pn、Pn+1、Pn+2的横坐标为n﹣5，n﹣4，n﹣3，n﹣2， 代入二次函数解析式，可得Pn﹣1、Pn、Pn+1、Pn+2的纵坐标为(n﹣5)2，(n﹣4)2，(n﹣3)2，(n﹣2)2， 四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面积为S四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2 ＝S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣4Pn﹣4﹣S梯形Pn﹣4Hn﹣4Hn﹣3Pn﹣3﹣S梯形Pn﹣3Hn﹣3Hn﹣2Pn﹣2 ＝ 3[(n−5)2+(n−2)2]2−(n−5)2+(n−4)22−(n−4)2+(n−3)22−(n−3)2+(n−2)22 ＝4 解：S四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2＝S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣4Pn﹣4﹣S梯形Pn﹣4Hn﹣4Hn﹣3Pn﹣3﹣S梯形Pn﹣3Hn﹣3Hn﹣2Pn﹣2 = 3[(n−5)2+b(n−5)+c+(n−2)2+b(n−2)+c]2-(n−5)2+b(n−5)+c+(n−4)2+b(n−4)+c2 - (n−4)2+b(n−4)+c+(n−3)2+b(n−3)+c2−(n−3)2+b(n−3)+c+(n−2)2+b(n−2)+c2 ＝4．

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