题目

菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G. （1） 如图1，若∠A＝90°，DE＝CF，求证：DE⊥CF； （2） 如图2，若∠EGC+∠B＝180°.求证：DE＝CF； （3） 如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，BN＝ ，请直接写出FG的长度. 答案： 证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90° ∴菱形ABCD是正方形 ∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90° 在Rt△ADE与Rt△DCF中 {DE=DFAD=DC ∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL） ∴∠ADE＝∠DCF ∴∠DCF+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90° ∴∠CGD＝90° ∴DE⊥CF 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC ∴∠A+∠B＝180° ∵∠EGC+∠B＝180°，∠EGC+∠CGD＝180° ∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC ∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF ∴△ADE∽△GDF ∴ ADGD=DEDF ∴ ADDE=DGDF ∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD ∴△DCG∽△FCD ∴ DGDF=DCCF ∴ ADDE=DCCF ∵AD＝DC ∴DE＝CF 1+ 3

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