题目

在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 . （1） 求抛物线的解析式； （2） 为抛物线上的一个动点，点 关于原点的对称点为 .当点 落在该抛物线上时，求 的值； （3） 是抛物线上一动点，连接 ，以 为边作图示一侧的正方形 ，随着点 的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点 或 恰好落在 轴上时，求对应的 点坐标. 答案： ∵抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A(2,0) 和点 (−1,2) . 得 {−4+2b+c=0−1−b+c=2 ，解得 {b=13c=103 ∴抛物线的解析式为 y=−x2+13x+103 . ∵ P′ 与 P(m,t) 关于原点对称， ∴ P′ 的坐标为 (−m,−t) . ∵ P(m,t) ， P′(−m,−t) 都在抛物线 y=−x2+13x+103 上， ∴ t=−m2+13m+103 ， −t=−m2−13m+103 . ∴ −m2+13m+103+(−m2−13m+103)=0 . 解得 m=303 或 m=−303 . 当点 G 落在 y 轴上时， 如图1，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M ， ∵四边形 APFG 是正方形， ∴ AP=GA ， ∠PAG=90° . ∴ ∠PAM+∠GAO=90° . ∵ ∠AOG=90° ， ∴ ∠AGO+∠GAO=90° . ∴ ∠PAM=∠AGO . 又 ∠PMA=∠AOG=90° ， ∴ ΔPMA≌ΔAOG . ∴ PM=AO=2 . ∴ t=2 ，有 −m2+13m+103=2 ， 解得 m=43 或 m=−1 （舍去）. ∴ P 点坐标为 (43,2) . 如图2，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M ， 同理可以证得 ΔAPM≌ΔGAO ， ∴ PM=AO=2 . ∴ t=2 ，有 −m2+13m+103=2 ， 解得 m=−1 或 m=43 （舍去）. ∴ P 点坐标为 (−1,2) . 当点 F 落在 y 轴上时， 如图3，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M ，过点 F 作 FN⊥PM 于点 N ， 同理可以证得 ΔPFN≌ΔAPM ， ∴ FN=PM ， ∴ t=m ，有 −m2+13m+103=m ， 解得 m=−1+313 或 m=−1−313 （舍去）. ∴ P 点坐标为 (−1+313,−1+313) . 如图4，过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N ，过点 A 作 AM⊥PN ，交 PN 的延长线于点 M ， 同理可以证得 ΔPAM≌ΔFPN ， ∴ AM=PN ， ∴ t=m ，有 −m2+13m+103=m ， 解得 m=−1−313 或 m=−1+313 （舍去）. ∴ P 点坐标为 (−1−313,−1−313) . 综上所述， P 点的坐标为 (43,2) ， (−1,2) ， (−1+313,−1+313) ， (−1−313,−1−313) .

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