题目

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB=∠AEC，AE与BC交于F． （1） 判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明； （2） 当⊙O的半径是5，BF=2 ，EF= 时，求CE及BH的长． 答案： 解：BD是⊙O的切线；理由如下： ∵∠AEC与∠ABC都对 AC^ ，∴∠AEC=∠ABC，∵∠ODB=∠AEC，∴∠ABC=∠ODB，在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线 解：∵∠A=∠C，∠ABF=∠CEF， ∴△CEF∽△ABF，∴ CEAB=EFBF = CFAF ，即 CE10=113211 ，解得：CE= 5311 ；连接BE，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE= BF2−EF2 = 5311 ，∴AE= AB2−BE2 = 253 ，∴AF=AE﹣EF= 253 ﹣ 113 = 143 ，∴ CF143 = 113211 ，解得：CF= 7119 ，∴BC=BF+CF= 25119 ，∵OE⊥BC，∴BH=CH= 12 BC= 251118 ．

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