题目

在四棱锥P﹣ABCD中， ， ，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O． （1） 求证：O是AD中点； （2） 证明：BC⊥PB； （3） 求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 答案： 证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形， ∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点 证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点， 于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴ ∠DBO=∠ODB=π4 ，又 AB∥__CD ，∴ ∠CBD=π4 ，从而 ∠CBO=π2 即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB 解：以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图， ∵AB=2，则O（0，0，0）， A(0，−2，0) ， B(2，O，O) ， C(2，22，0) ， D(0，2，0) ， P(0，0，2) ， BA→=(−2，−2，0) ， BP→=(−2，0，2) ， BC→=(0，22，0) ，设面PAB的法向量为 n→=(x，y，z) ，则 n→⋅BA→=0 ， n→⋅BP→=0 ，得 −2x−2y=0 ， −2x+2z=0 ，取x=1，得y=﹣1，z=1，故 n→=(1，−1，1) ．设面PBC的法向量为 m→=(r，s，t) ，则 m→⋅BC→=0 ， m→⋅BP→=0 ，得s=0， −2r+2t=0 ，取r=1，则t=1，故 m→=(1，0，1) ，于是 cos<m→，n→>=m→⋅n→|m→||n→|=63 ，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为 −63

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