题目

如图，在四棱锥 中，平面 平面ACDE， 是等边三角形，在直角梯形ACDE中， ， ， ， ，P是棱BD的中点． （1） 求证： 平面BCD； （2） 设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为 ，求MP的长． 答案： 证明：如图，取BC的中点Q，连接PQ、AQ，因为 △ABC 是等边三角形，所以 AQ⊥BC ， 又平面 ABC⊥ 平面ACDE， AE⊥AC ，平面 ABC∩ 平面ACDE=AC，所以 AE⊥ 面 ABC ，又 AQ⊂ 面 ABC ，所以 AE⊥AQ ， 又 AE//CD ，所以 CD⊥AQ ，又 CD∩BC=C ，所以 AQ⊥ 面 BCD ， 因为 BP=2PD ，又P是棱BD的中点，所以 PQ=12DC=1 ， PQ//DC ，又 AE//CD ， AE=1 ， 所以 AE//PQ ， AE=PQ ，即四边形 AEPQ 是一个平行四边形，所以 EP//AQ ， 所以 EP⊥ 平面BCD 解：由（1）得 PQ⊥ 平面 ABC ，所以以点Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，   则 Q(0,0,0) ， A(3,0,0) ， B(0,1,0) ， E(3,0,1) ， P(0,0,1) ， 设平面 EAB 的法向量为 m→=(x1,y1,z1) ， 由 {m⇀⋅AB⇀=−3x1+y1=0m⇀⋅AE⇀=z1=0⇒m⇀=(1,3,0) ， 因为点M在线段 AC 上，设其坐标为 M(3−3t,−t,0) ，其中 0≤t≤1 ， 所以 EM⇀=(−3t,−t,−1) ， EP→=(−3,0,0) 设平面 PEM 的法向量为 n→=(x2,y2,z2) ， 由 {n⇀⋅EM⇀=−3tx2−ty2−z2=0n⇀⋅EP⇀=−3x2=0⇒n⇀=(0,1,−t) ， 由题意，设平面 PEM 与平面 EAB 所成的锐二面角为 θ ， 则 cosθ=|m→⋅n→|m→|⋅|n→||=321+t2=155⇒t=−12 或 t=12 ，因为 0≤t≤1 ， 所以 M(32,−12,0) ，所以 MP=2

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