题目

已知椭圆C的左右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），椭圆上除A、B外的任一点C满足kAC•kBC=﹣ ． （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明现由． 答案： 解：由题意可设椭圆的标准方程为： x2a2+y2b2 =1（a＞b＞0）， 设椭圆上的任意一点C（x，y），∵kAC•kBC=﹣ 12 ，∴ yx+2⋅yx−2 =﹣ 12 ，整理化为： x24+y22 =1．点A（﹣2，0），B（2，0），也满足上述方程，∴椭圆C的标准方程为： x24+y22 =1 解：假设在x轴上存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°， 设直线QM，QN的斜率存在，分别设为k1，k2，等价于k1+k2=0．设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立 {y=k(x−4)x24+y22=1 ，化为：（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0，则△=256k4﹣4（2k2+1）（32k2﹣4）＞0，化为k2 ＜16 ．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2= 16k22k2+1 ，x1•x2= 32k2−42k2+1 ，设Q（m，0），则k1+k2= y1x1−m + y2x2−m =0．又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），化为：k（x1﹣4）（x2﹣m）+k（x2﹣4）（x1﹣m）=0，∴k=0，或2x1x2﹣（m+4）（x1+x2）+8m=0，∴2× 32k2−42k2+1 ﹣（m+4）× 16k22k2+1 +8m=0，化为：m﹣1=0，解得m=1．k=0时也成立．综上可得：在x轴上存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°

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