题目

已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1） 求抛物线的解析式； （2） 如图（1），设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线的对称轴上找一点H，使△CDH的周长最小，求出H点的坐标并求出最小周长值． （3） 如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标． 答案： 解：将点A（3，0），B（4，1）代入可得：{9a+3b+3=014a+4b+3=1 ，解得： {a=12b=−52 ，故函数解析式为y= 12 x2﹣ 52 x+3 解：如图1中，连接DC、AC，AC交对称轴于H，连接DH，此时△CDH的周长最小．∵A、D关于对称轴对称，HD=HA，x∴DH+CH=AC= 32+42 =5，CD= 22+32 = 13 ，∴△CDH的周长的最小值为5+ 13 ，∵A（3，0），C（3，0），∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，∴H（ 52 ， 12 ） 解：如图2中，作BD⊥OA于D．∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴OA=OC=3，AD=BD=1，∴∠OAC=∠BAD=45°，∵∠OAF=∠BAD=45°，∴∠EAF=90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，∴∠EOF=90°，∴∠EFO=∠EAO=45°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE⊥AC时，OE最小，OC=OA，∴CE=AE，OE= 12 AC= 322 ，∴E（ 32 ， 32 ），S△EOF= 12 • 322 • 322 = 94 ．∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为 94 ，E点坐标（ 32 ， 32 ）

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