题目

如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E，F分别是AB，AD的中点. （1）求证：平面BCD；（2）设，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值答案：解：因为 CD⊥ 平面ABC， AC⊂ 平面ABC，所以 CD⊥AC ，因为 ∠ACB=90° ，所以 AC⊥CB ，因为 CB∩CD=C ，所以 AC⊥ 平面BCD；解：因为 CD⊥ 平面ABC， BC⊂ 平面ABC，所以 CD⊥BC ，所以 AC，BC，CD 两两垂直，所以以 C 为原点，分别以 CB，CD，CA 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 C(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，A(0，0，2) ，则 DA→=(0，−4，2) ，因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以 E(1，0，1)，F(0，2，1) ，所以 CE→=(1，0，1)，CF→=(0，2，1) ，设平面 CEF 的一个法向量为 m→=(x，y，z) ，则 {m⇀⋅CE⇀=x+z=0m⇀⋅CF⇀=2y+z=0 ，令 y=1 ，则 m→=(2，1，−2) ，直线AD与平面CEF所成角为 θ ，则 sinθ=|m→⋅DA→|m→||DA→||=|−4−422+12+(−2)2⋅(−4)2+22|=4515 ，所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为 4515

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