题目

我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”. （1） 求一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”. （2） 若二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，且与y轴交于正半轴，求当1≤x≤3时，y的取值范围. （3） 若对于任意的实数n，在二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，求m的取值范围. 答案： 解：设一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”为（x，﹣2x﹣3）， 则：﹣2x﹣3+x＝0， 解得：x＝﹣3， ∴﹣2x﹣3＝3. ∴一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”为（﹣3，3）； 解：设二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a的“互反点”为（x，x2﹣（2a+1）x+a）， 则：x2﹣（2a+1）x+a+x＝0. ∴x2﹣2ax+a＝0. ∵二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a＝0. 即：4a2﹣4a＝0. 解得：a1＝0，a2＝1. 令x＝0，则y＝a， ∴抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+a与y轴交于点（0，a）. ∵二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a与y轴交于正半轴， ∴a＞0. ∴a＝1. ∴y＝x2﹣3x+1. 当x＝1时，y＝﹣1， 当x＝3时，y＝1. ∴1≤x≤3时，y的取值范围为：﹣1＜y＜1. 解：二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上的“互反点”为（x，（m+1）x2+nx+n﹣1）， 则：（m+1）x2+nx+n﹣1+x＝0. 即：（m+1）x2+（n+1）x+n﹣1＝0. ∵二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”， ∴Δ1＝（n+1）2﹣4（m+1）（n﹣1）＞0. ∴n2﹣（4m+2）n+4m+5＞0. ∵对于任意的实数n，此不等式恒成立， ∴Δ2＝[﹣（4m+2）]2﹣4×1×（4m+5）＜0. ∴16m2+16m+4﹣16m﹣20＜0， 即：m2﹣1＜0. 解得：﹣1＜m＜1. ∴m的取值范围为：﹣1＜m＜1.

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