题目

如图，在平面直角坐标系中， ， ，直线 与x轴相交于点C，与直线AB交于点D，交y轴于点E. （1） 求直线AB的解析式及点D的坐标； （2） 如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当 时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且 ，连接HM、NC，求 的最小值； （3） 将△OEC 绕平面内某点转90°，旋转后的三角形记为 ，若点 落在直线AB上，点 落在直线CD上，请直接写出满足条件的点 的坐标. 答案： 解：设直线AB解析式为y=kx+b， 将点A(-1，0)，B(0，3)，代入得： { 0 = − k + b 3 = b ， 解得： { k = 3 b = 3 ， ∴直线AB解析式为y=3x+3， 将直线AB和直线CD的解析式联立方程组得： { y = 3 x + 3 y = − 1 3 x + 1 ， 解得： { x = − 3 5 y = 6 5 故D点坐标为： ( − 3 5 ， 6 5 ) 解：对于 y = − 1 3 x + 1 ，令y=0，得： 0 = − 1 3 x + 1 ， 解得：x=3， 故C点坐标为C(3，0)， ∴AC=3+1=4. 根据题意可设H点坐标为(m，3m+3)， ∵由于H是第一象限内的点， ∴3m+3>0. 由图可知： S △ H C D = S Δ H C A − S Δ A C D = 1 2 A C ⋅ y H − 1 2 A C ⋅ y D ， 即 1 2 A C ⋅ ( y H − y D ) = 72 5 ， ∴ 1 2 × 4 ⋅ ( 3 m + 3 − 6 5 ) = 72 5 ， 解得： m = 9 5 . ∴H ( 9 5 ， 42 5 ). 如图，作H关于y周对称点 H ′ ( − 9 5 ， 42 5 ) ，得到 H ′ M = H M ，再将 H ′ 往下平移 6 5 个单位到 H ″ ( − 9 5 ， 36 5 ) ，连接 N H ″ ， C H ″ . 由作图可知： M N = H ′ H ″ ， M N / / H ′ H ″ ， ∴四边形 N M H ′ H ″ 是平行四边形， ∴ H ′ M = H ″ N ，即 H M = H ″ N ， ∴ H M + M N + N C = H ″ N + 6 5 + N C 由两点之间线段最短可知， H ″ N + N C 有最小值为 C H ″ ， ∵ C H ″ = ( x H ″ − x C ) 2 + ( y H ″ − y C ) 2 = ( − 9 5 − 3 ) 2 + ( 36 5 − 0 ) 2 = 12 13 5 ， ∴ C H ″ + M N = 12 13 5 + 6 5 ， 故HM+MN+NC的最小值为 12 13 5 + 6 5 解：点 E ′ 的坐标为 ( − 7 10 ， 9 10 ) 或 ( - 1 2 ， 3 2 )

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