题目

如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点． （Ⅰ）用向量方法求直线EF与MN的夹角；（Ⅱ）求二面角N﹣EF﹣M的平面角的正切值． 答案：解：（Ⅰ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），E（ 12 ，0，1），F（1， 12 ，0），M（ 12 ，1，1），N（1， 12 ，1），则 EF→ =（ 12，12，−1 ）， MN→ =（ 12 ，- 12 ，0），则 EF→ • MN→ =（ 12，12，−1 ）•（ 12 ，- 12 ，0）= 12×12−12×12+0=0 ，则 EF→ ⊥ MN→ ，即直线EF与MN的夹角为90°；（Ⅱ）∵直线EF与MN的夹角为90°，∴EF⊥MN，∵FN⊥MN，MN∩FN=N，∴MN⊥平面ENF，即向量 MN→ =（ 12，−12，0 ）是平面ENF的法向量，设平面EFM的法向量为 n→ =（x，y，z），则 EM→ =（0，1，0）， EF→ =（ 12，12，−1 ），则 {n→⋅EM→=y=0n→⋅EF→=12x+12y−z=0 ，即y=0，x=2z，设z=1，则x=2，即 n→ =（2，0，1），则cos＜ n→ ， MN→ ＞= n→⋅MN→|n→|⋅|MN→| = 15⋅12=25 ，则sin＜ n→ ， MN→ ＞= 1−(25)2=1−25=35=35 ，则tan＜ n→ ， MN→ ＞= 3525=32=62 ．

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