题目

如图，经过城市有两条夹角为60°的公路 ， ， 实行垃圾分类政策后，政府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站 ， 并分别在两条公路边上建造两个垃圾中转站 ， （异于城市），为方便运输，要求（单位：km）.设. （1） 当时，求垃圾处理站与城市之间的距离； （2） 当为何值时，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远？ 答案： 解：因为∠AMN=30°，∠BAC=60°且GM=GN=MN=2，故∠GMN=60°，故∠GMA=∠MNA=90∘，故AM=MNcos30∘=43，AG=AM2+GM2=163+4=283=2213 解：设∠AMN=θ，由题意∠AMG=θ+60°，由正弦定理，MNsin60∘=AMsin(120∘−θ)，所以AM=433sin(120∘−θ)由余弦定理可得：AG2=AM2+MG2−2AM⋅MG⋅cos∠AMG=163sin2(120∘−θ)+4−1633sin(120°−θ)cos(θ+60°)=163sin2(θ+60∘)+4−1633sin(θ+60°)cos(θ+60°)=83[1−cos(2θ+120°)]+4−833sin(2θ+120°)=−83[3sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+203=203−163sin(2θ+150°)，又由（1）可得0°<θ<120°，所以2θ+150°∈(150°，390°)，当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AG2取得最大值，能使得垃圾处理站G与城市A之间的距离最远，此时AN=AM=2

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