题目

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D. （1） 求点A，B的坐标； （2） 若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM. ①求二次函数解析式； ②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值； ③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围. 答案： 解：令y=0，即：ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x=﹣1或3， 即点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），函数的对称轴 x=−b2a=1； 解：①DM=2AM=4，即点D的坐标为（1，﹣4）， 将点D的坐标代入二次函数表达式得： ﹣4=a﹣2a﹣3a，解得：a=1，即函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3； ②当x=t和x=t﹣2在对称轴右侧时，函数在x=t处，取得最大值， 即：t2﹣2t﹣3=5，解得：t=﹣2或4（舍去t=﹣2），即t=4； 同理当x=t和x=t﹣2在对称轴左侧或两侧时，解得：t=0， 故：t值为0或4； ③如下图所示，直线m、l、n都是直线y=kx+b与图象P、Q都相交，且只有两个交点的临界点， 点E、R、C'坐标分别为（4，5）、（10，﹣4）、（8，﹣3），直线l的表达式：把点E、R的坐标代入直线y=kx+b得： {5=4k+b−4=10k+b,  解得： {k=−32b=11, 同理可得直线m的表达式为： y=−12x−1， 直线n的表达式为：y=﹣4，故：b的取值范围为：﹣1≤b＜11或b=﹣4.

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