题目

问题探究 （1） 请在图①的 的边 上求作一点 ，使 最短； （2） 如图②，点 为 内部一点，且满足 .求证：点 到点 、 、 的距离之和最短，即 最短； （3） 问题解决:如图③，某高校有一块边长为400米的正方形草坪 ，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在 点处，使点 到 、 、 三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点 ？若存在，请作出点 的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由. 答案： 解：如图①，过点 A 作 BC 的垂线， 垂足为 P ，点 P 记为所求； 解：如图②，将 AB 绕点 B 逆时针旋转 60° ，得到 A1B ， 将 PB 绕点 B 逆时针旋转 60° ，得到 P1B ， 连接 P1A ， P1P ， A1A ， 根据作图可知 ΔAA1B 和 ΔPP1B 均为等边三角形， ∴ A1B=AB ， BP1=BP=PP1 ， ∠A1BA=∠P1BP=60° ， ∴ ∠A1BP1+∠P1BA=∠PBA+∠P1BA ， ∴ ∠A1BP1=∠PBA ， ∴ ΔA1BP1≌ΔABP ， ∴ P1A1=PA ， ∴ P1A1+PP1+PC=PA+PB+PC ， 连接 A1C ，根据两点之间线段最短可知， 当 P1A1+PP1+PC=A1C1 时， PA+PB+PC 最短， ∵ ∠APB=∠BPC=∠APC=13×360°=120° ， ∴ ∠A1P1B=∠APB=∠BPC=120° ， 又∵ ΔBP1P 为等边三角形， ∠A1P1B+∠BP1P=∠BPP1+∠BPC=180° ∴ A1,P1,P,C 四点共线， ∴ P1A1+PP1+PC=A1C ， ∴当 ∠APB=∠BPC=∠APC 时， PA+PB+PC 最短；   解：存在符合条件的点 P . 如解图③，以 CD 为作等边 ΔCDE ，在作 ΔCDE 的外接圆 ⊙O ， 连接 BE ，交 ⊙O 于点 P ， 此时 PB+PC+PD 最小， 在 PE 上截取 PQ=PC . ∵在等边 ΔCDE 中， ∠DCE=∠CDE=60° ∴ ∠CPE=∠CDE=60° （同弧所对的圆周角相等） ∴ ΔCPQ 为等边三角形， ∴ CQ=CP,∠PCQ=60° . ∴ ∠PCD+∠DCQ=∠DCQ+∠ECQ=60° . ∴ ∠PCD=∠ECQ . 又∵ CD=CE ， PC=QC ， ∴ ΔPCD≌ΔQCE(SAS) ， ∴ PD=QE ， ∴ PB+PC+PD=PB+PQ+QE=BE 最小. 理由如下： 设点 M 为正方形 ABCD 内任意一点， 连接 BM ， CM 、 DM ， 将 ΔCMD 绕点 C 顺时针旋转 60° 得到 ΔCGE . ∵ BE<GE+GM+MB=MD+MC+MB ， ∴ BE 为 PB+PC+PD 的最短距离. 在 RtΔCEF 中， ∠ECF=30° ， CE=400 米， ∴ EF=12CE=200 （米）， CF=CE⋅cos30°=2003 （米）， ∴ BF=BC+CF=400+2003 （米）. 在 RtΔBEF 中， BE=BF2+EF2 =(400+2003)2+2002=200(6+2) . ∴点 P 到 B,C,D 三点的距离之和最小值为 200(6+2) 米.

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