题目

已知关于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．（Ⅰ）若该方程有两个不等实数根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，记此函数的最大值为M（a），最小值为N（a），求M（a），N（a）的解析式． 答案：解：（Ⅰ）∵该方程有两个不等实数根，∴△=4（a﹣1）2﹣4（2a+6）＞0，解得a＜﹣1，或a＞5；（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，根据（Ⅰ）便知，a＜﹣1，或a＞5，且这两个根都大于1，∴ 2(1−a)−4(a−1)2−4(2a+6)2 ＞1，即﹣2a＞ 4(a2−4a−5) ，∴﹣a＞ a2−4a−5 ，∴ {a<0a2>a2−4a−5 ，解得： −54<a<0 ，∴﹣ 54<a<−1 ．∴实数a的取值范围为（﹣ 54 ，﹣1）；（Ⅲ）f（x）的对称轴为x=1﹣a；∴①1﹣a≤﹣1，即a≥2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增；∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（﹣1）=9；②﹣1＜1﹣a≤0，即1≤a＜2时，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；③0＜1﹣a＜1，即0＜a＜1时，M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；④1﹣a≥1，即a≤0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；∴M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；∴综上得， M(a)={9，a<14a+5，a≥1 ，N（a）= {4a+5，a≤0−a2+4a+5，0<a<29，a≥2

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