题目

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 答案：解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴log44x+1+kx=log44-x+1-kx，化简得log44x+14-x+1=-2kx，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-12．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程log44x+1-12x=log4a·2x+a有且只有一个实根，化简得：方程2x+12x=a·2x+a有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足-a2a-1>0∆=0，此时有a=-2+22；a=-2-22（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{-2+22}∪[1，+∞）．

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