题目

如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：将A、C两点坐标代入抛物线，得{c=8−49×36+6b+c=0 ，解得： {b=43c=8 ，∴抛物线的解析式为y=﹣ 49 x2+ 43 x+8 解：①∵OA=8，OC=6，∴AC= OA2+OC2 =10，过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB= QEQC = ABAC = 35 ，∴ QE10−m = 35 ，∴QE= 35 （10﹣m），∴S= 12 •CP•QE= 12 m× 35 （10﹣m）=﹣ 310 m2+3m；②∵S= 12 •CP•QE= 12 m× 35 （10﹣m）=﹣ 310 m2+3m=﹣ 310 （m﹣5）2+ 152 ，∴当m=5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为y=﹣ 49 x2+ 43 x+8的对称轴为x= 32 ，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当∠FDQ=90°时，F1（ 32 ，8），当∠FQD=90°时，则F2（ 32 ，4），当∠DFQ=90°时，设F（ 32 ，n），则FD2+FQ2=DQ2，即 94 +（8﹣n）2+ 94 +（n﹣4）2=16，解得：n=6± 72 ，∴F3（ 32 ，6+ 72 ），F4（ 32 ，6﹣ 72 ），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（ 32 ，8），F2（ 32 ，4），F3（ 32 ，6+ 72 ），F4（ 32 ，6﹣ 72 ）．

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