题目

已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2 ，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P ， Q是椭圆C上异于点B的任意两点. （1） 求椭圆C的方程； （2） 若BP⊥BQ ， 且满足3 2 的点D在y轴上，求直线BP的方程； （3） 若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 答案： 解：由题意设椭圆的方程为： x2a2+y2b2= 1 由题意知：2a＝8， 12a2+1b2= 1，解得：a2＝16，b2＝4， 所以椭圆的方程为： x216+y24=1 解：由（1）得B（0，2）显然直线BP的斜率存在且不为零， 设直线BP为：y＝kx+2，与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+16kx＝0，x =−16k1+4k2 ，所以P（ −16k1+4k2 ， 2−8k21+4k2 ）； 直线BQ：y =−1k x+2，代入椭圆中：（4+k2）x2﹣16kx＝0， 同理可得Q（ 16k4+k2 ， 2k2−84+k2 ），由3 PD→= 2 DQ→ 得， ∴3（xD﹣xP）＝2（xQ﹣xD），∴5xD＝2xQ+3xP =32k4+k2−48k1+4k2 ， 由于D在y轴上，所以xD＝0，∴ 32k4+k2=48k1+4k2 ，解得：k2＝2，所以k =±2 ， 所以直线BP的方程为：y＝± 2 x+2. 解：当直线PQ的斜率不存在时， 设直线PQ的方程：x＝t，P（x，y），Q（x'，y'）， 与椭圆联立得：4y2＝16﹣t2，yy' =t2−164 ，xx'＝t2，kBP•kBQ =y−2x • y'−2x'=yy'−2（y+y'）+4xx'= 14 ， 要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立. 当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y＝kx+t，设P（x，y），Q（x'，y'）， 与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣16＝0，x+x' =−8kt1+4k2 ，xx' =4t2−161+4k2 ， ∴y+y'＝k（x+x'）+2t =2t1+4k2 ， yy′=k2xx′+kt(x+x′)+t2=t2−16k21+4k2 ， ∴kBP•kBQ =y−2x⋅y'−2x'=yy'−2（y+y'）+4xx'=t−24（t+2） ， 所以由题意得： t−24（t+2）= λ，解得：t =2+8λ1−4λ ，所以不论k为何值，x＝0时，y =2+8λ1−4λ ， 综上可知直线恒过定点（0， 2+8λ1−4λ ）

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