题目

已知△ABC是等边三角形，D，E分别是直线AC，BC上一点. （1）如图，若D在线段AC上，E在BC的延长线上，且DE＝DB.①当D是线段AC的中点时（如图1），求证：CE＝AD；②当D不是线段AC的中点时（如图2），过点D作DF∥AB交BC于点F，试确定线段CE与AD的大小关系，并证明你的结论. （2）若D是线段AC的延长线上一点，且CD＝CA，当△DBE是等腰三角形时，求∠DEB的度数. 答案：解：①证明：∵△ABC是等边三角形，点D为线段AC的中点，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBE＝30°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE＝30°，∵∠DCE＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠E＝∠CDE，∴CD＝CE，∴AD＝CE；②解：AD＝CE，理由如下：∵DF∥AB，△ABC是等边三角形，∴△CDF是等边三角形，∴BC﹣CF＝AC﹣CD，即BF＝AD，∵DF∥AB，∴∠DFC＝60°，∴∠BFD＝120°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，在△BDF和△EDC中，{∠BFD=∠ECD∠DBE=∠EDB=DE，∴△BDF≌△EDC（AAS），∴BF＝CE，∴AD＝CE；解：如图，∵CD＝CA，CB＝CA，∴CB＝CD，∴∠CBD＝30°，当BE′′＝BD时，∠DE′′B＝15°，当BE＝BD时，∠DEB＝180°−30°2＝75°，当DE′＝BD时，∠DE′B＝30°，当点E与点C重合时，EB＝ED，∠DEB＝120°，则当△DBE是等腰三角形时，∠DEB的度数为15°或75°或30°或120°.

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