题目

在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示，某时刻在xOy平面内的第Ⅱ、Ⅲ象限中施加沿y轴负方向、电场强度为E的匀强电场，在第Ⅰ、Ⅳ象限中施加垂直于xOy坐标平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从M点以速度v0沿垂直于y轴方向射入该匀强电场中，粒子仅在电场力作用下运动到坐标原点O且沿OP方向进入第Ⅳ象限。在粒子到达坐标原点O时撤去匀强电场（不计撤去电场对磁场及带电粒子运动的影响），粒子经过原点O进入匀强磁场中，并仅在磁场力作用下，运动一段时间从y轴上的N点射出磁场。已知OP与x轴正方向夹角α=60°，带电粒子所受重力及空气阻力均可忽略不计，求： （1） M、O两点间的电势差U； （2） 坐标原点O与N点之间的距离d； （3） 粒子从M点运动到N点的总时间t。 答案： 解：设粒子经过O点的速度为v， 则cosα= v0v 对于电子经过电场的过程，根据动能定理有： qU=12mv2−12mv02 解得： U=3mv022q 解：粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，运动轨迹如答图2所示。 洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有： qvB=mv2R 解得： R=2mv0qB 根据几何关系可知，O与N之间的距离 d=R=2mv0qB 解：设粒子在电场中从M点运动至O点所用时为t1， 根据牛顿第二定律可知：粒子在电场中的加速度a= qEm 粒子通过O点时竖直方向速度vy= 3v0 ，根据运动学公式有：vy=at1 解得：t1= 3mv0qE 设粒子在磁场中从O点运动至N点用时为t2，粒子在磁场中运动的周期 T=2πRv t2=π−α2πT=5πm3qB 解得：粒子从M点运动到N点的总时间t= t1+ t2= 3mv0qE + 5πm3qB

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