题目

已知AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点F在直线AB、CD之间，分别连接EF、FG，∠BEF+∠DGF=2∠EFG （1） 如图1，求∠EFG的度数； （2） 如图2，若∠BEF的角平分线与FG的延长线交于点M，求证：∠AEF－2∠FME=60°； （3） 如图3，已知点P在FG的延长线上，点K在CD上，点N在∠PGC内，分别连接NG，NK.若NK∥EF，∠PGN=2∠NGC，请直接写出 的值 答案： 解：过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠BEF+∠EFH=180°，∠DGF+∠GFH=180°， ∴∠EFG=∠EFH+∠GFH=360°﹣（∠BEF+∠DGF）， ∵∠BEF+∠DGF=2∠EFG ∴∠EFG=360°﹣2∠EFG， ∴∠EFG=120°； 证明：过点F作FI∥AB，过点M作MK∥AB. ∵AB∥CD. FI∥AB， ∴FI∥CD. 同理： KM∥AB， KM∥FI. ∵EM平分∠BEF， ∴ ∠BEM=12∠BEF ， ∴ ∠BEM=180°−∠AEF2 ∵KM∥AB，KM∥FI， ∴∠AEF=∠EFI，∠IFM=∠FMK， ∴∠AEF+∠FMK =∠EFM= 120° ∵KM∥AB， ∴∠BEM =∠EMK =∠FME+∠FMK， 即 ∠FMK=180°−∠AEF2−∠FME ， ∴∠AEF+180°−∠AEF2−∠FME=120° ， 则 ∠AEF−2∠FME=60° ； 解：延长EF交CD于H， ∵NK∥EF，AB∥CD， ∴∠AEF=∠EHK=∠CKN， ∵∠CKN=∠GNK+∠NGC，∠EFG=∠EHK+∠CGF=120°， ∴∠AEF=∠GNK+∠NGC，∠AEF+∠CGF=120°， ∵∠PGN=2∠NGC， ∴∠CGF=180°﹣3∠NGC， ∴∠AEF+180°﹣3∠NGC =120°， ∴∠NGC= 13 ∠AEF+20°， ∴∠AEF=∠GNK+ 13 ∠AEF+20°， ∴ 23 ∠AEF﹣∠GNK=20°， ∴ ∠AEF−32∠GNK =30°.

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