题目

如图，现要在一块半径为1m、圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在 上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设∠BOP=θ，平行四边形MNPQ的面积为S． （1） 求S关于θ的函数关系式； （2） 求S的最大值及相应的θ的值． 答案： 解：①分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形． PD=sinθ，OD=cosθ．在Rt△OEQ中，∠AOB= π3 ，则OE= 33 QE= 33 PD．所以MN=PQ=DE=OD﹣OE=cosθ﹣ 33 sinθ．则S=MN×PD=（cosθ﹣ 33 sinθ）×sinθ=sinθcosθ﹣ 33 sin2θ，θ∈（0， π3 ） 解：S= 12 sin2θ﹣ 63 （1﹣cos2θ）= 12 sin2θ+ 63 cos2θ﹣ 63 = 33 sin（2θ+ π6 ）﹣ 63 ． 因为0＜θ＜ π3 ，所以 π6 ＜2θ+ π6 ＜ 5π6 ，所以 12 ＜sin（2θ+ π6 ）≤1．所以当2θ+ π6 = π2 ，即θ= π6 时，S的值最大为 63 m2．即S的最大值是 63 m2，相应θ的值是 π6

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