题目

已知函数. （1） 若是增函数，求实数a的取值范围； （2） 若有两个极值点 ， ， 证明：. 答案： 解：函数的定义域为(0，+∞)，f′(x)=ex(lnx+1x+a)，若f(x)是增函数，即f′(x)≥0对任意x>0恒成立，故lnx+1x+a≥0恒成立，设g(x)=lnx+1x+a，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以当x=1时，g(x)min=g(1)=a+1，由a+1≥0得a≥−1，所以a的取值范围是[−1，+∞) 证明：不妨设0<x1<x2，因为x1，x2是f(x)的两个极值点，所以f′(x1)=ex1(lnx1+1x1+a)=0，即lnx1+1x1+a=0，同理lnx2+1x2+a=0，故x1，x2是函数g(x)=lnx+1x+a的两个零点，即g(x1)=g(x2)=0，由（1）知，g(x)min=g(1)=a+1<0，故应有a∈(−∞，−1)，且0<x1<1<x2，要证明x1+x2>2，只需证x2>2−x1，只需证g(x2)−g(2−x1)=g(x1)−g(2−x1)=lnx1+1x1+a−[ln(2−x1)+12−x1+a]=lnx1+1x1−ln(2−x1)+1x1−2>0，设h(x)=lnx+1x−ln(2−x)+1x−2，x∈(0，1]，则h′(x)=1x−1x2−1x−2−1(x−2)2=x−1x2−x−1(x−2)2=−4(x−1)2x2(x−2)2≤0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，因为x1∈(0，1)，所以h(x1)>h(1)=0，即g(x2)−g(2−x1)>0，g(x2)>g(2−x1)，又x2>1，2−x1>1，及g(x)在(1，+∞)上单调递增，所以x2>2−x1成立，即x1+x2>2成立.

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