题目

已知曲线 是动点 到两个定点 、 距离之比为 的点的轨迹. （1） 求曲线 的方程； （2） 求过点 且与曲线 相切的直线方程. 答案： 解：设点 M(x,y) .由 |OM||AM|=12 及两点间的距离公式，得 x2+y2(x−3)2+y2=12 ， ①将①式两边平方整理得 x2+y2+2x−3=0 .即所求曲线方程为 x2+y2+2x−3=0 解：由（1）得 (x+1)2+y2=4 ，表示圆心为 C(−1,0) ，半径为 2 的圆.（i）当过点 N(1,3) 的直线的斜率不存在时，直线方程为 x=1 ，显然与圆相切；（ii） 当过点 N(1,3) 的直线的斜率存在时，设其方程为 y−3=k(x−1) ，即 kx−y+3−k=0 ，由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即|−k−0+3−k|k2+1=2 ，解得 k=512 ，此时直线方程为 5x−12y+31=0 ，所以过点 N(1,3) 且与曲线 C 相切的直线方程为 x=1 ， 5x−12y+31=0

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